कोडेड इन-इक्वलिटी

कोडेड इन-इक्वलिटी (Coded Inequalities) शार्ट ट्रिक और उदहारण

अक्षरों एवं गणितीय चिह्नों या संकेतों के माध्यम से संयोजित समीकरण जो कि गणितीय नियमों के आधार पर व्यवस्थित किए गए होते हैं ऐसे ही समीकरण रूपी संयोजन को गणितीय कथन कहते हैं। जैसे –

• ‘P < Q' का अर्थ है 'P, Q से छोटा है’
• ‘P ≤ Q’ का अर्थ है ‘P, Q से या तो छोटा है या समान है’
• ‘P > Q’ का अर्थ है ‘P, Q से बडा है’
• ‘P ≥ Q’ का अर्थ है ‘P, Q से बड़ा है या समान है’
• ‘P = Q’ का अर्थ है ‘P, Q के समान है’ आदि।

दिये गये कथनों के आधार पर जो यथार्थ स्थापित किये जाते हैं उसे निष्कर्ष कहते हैं।

उदाहरणस्वरूप: A > B, C > A

निष्कर्ष

I. C > B,

II. C = B

उपर्युक्त कथनों को एक साथ समायोजित करने पर C > A > B

यहाँ हम देख रहे हैं कि C, A और B दोनों से ही बड़ा है जबकि पहले निष्कर्ष में C > B व्यक्त किया गया है जो कि कथनों के संयोजन के बिल्कुल ही अनुरूप है लेकिन दूसरे निष्कर्ष में

C = B व्यक्त किया गया है जो कि कथनों के संयोजन के अनुरूप नहीं है।

अतः दिये गये कथनों आधार पर दोनों निष्कर्षों में से केवल प्रथम निष्कर्ष तर्कसंगत है।

कथनों का गणितीय चिह्नों के साथ निरूपण

सर्वप्रथम हमें इस प्रकार के प्रश्नों को हल करने के लिये दिये गए कथन में प्रयुक्त चिह्नों को निर्देशानुसार गणितीय चिह्नों के साथ निरूपित कर लेना चाहिये।

निम्नलिखित गणितीय चिह्नों के साथ निरूपण् की प्रक्रिया पर एक नजर डालें:

निर्देश

• A @ B का आशय → ‘A, B से छोटा है।’
• A @ B का आशय → ‘A, या तो B से छोटा है या B के बराबर है।’
• A = B का आशय → ‘A, B के बराबर है।’
• A © B का आशय → ‘A, B से बड़ा है।’
• A © B का आशय → ‘A, या तो B से बड़ा है, या B के बराबर है।’

कथन: Z @ P, P © Q, Q @ N

उपर्युक्त कथन को हम निम्न प्रकार से गणितीय चिह्नों के साथ निरूपित कर कर सकते हैं

Z < P, P ≥ Q, Q ≤ N [/av_textblock][av_textblock size='' font_color='' color='' custom_class='']

कथनों के संयोजन के विशेष तथ्य:

कथनों को संयोजित करते समय दिये गए निर्देश के अतिरिक्त अपनी ओर से कोई भी कल्पना नहीं करें।

दिये गए कथन को हमें हमेशा ही घटते क्रम में संयोजित करना चाहिए। जैसे: Z < P ⇒ P > Z

घटते क्रम में संयोजित करने के बाद हमें यह प्रयास करना चाहिए कि कथन में दिये गए अधिक से अधिक खण्ड आपस में संयोजित हो जाएँ।

जैसे- P > Z, P ≥ Q, N ≥ Q

• यहाँ हम देख रहे हैं कि ‘P’ Z, और Q से तो बड़ा है लेकिन ‘P’, N से बड़ा है या छोटा है या बराबर है इसकी निश्चितता व्यक्त नहीं की जा सकती। लेकिन एक तथ्य जो और हम देख रहे हैं वह यह है कि P और N दोनों ही Q से बडे भी हैं साथ ही P और N दोनों ही Q के बराबर भी हैं।
• उपर्युक्त चरणों के बाद हमें यह प्रयास करना चाहिये कि संयोजन की अधिक से अधिक कितनी संभावनाएँ प्राप्त हो सकती हैं।

जैसे- P > Z ≥ Q, N ≥ Q

यहाँ हमें निम्न संभावनाएँ प्राप्त हो रही हैं:

(i) ‘P’ Z, से बड़ा है

(ii) ‘P’, Q से बड़ा है

(iii) ‘N’, Q से बड़ा है। या,

1. ‘P’, Z, Q, और N तीनों से बड़ा है
2. ‘Z’, Q और N बराबर हैं।

निष्कर्षों का गणितीय चिह्नों के साथ निरूपण:

कथन: Z @ P, P © Q, Q @ N

निष्कर्ष:

I. A @ N

II. N © P

अब हम इसे कथनों के ही संयोजन की प्रक्रिया की ही तरह घटते क्रम में एवं संभावित समीकरणों में व्यवस्थित करेंगे।

जैसे-

I. Z ≤ N ⇒ N > या N = Z

II. N > P

यहाँ दिये गए दोनों ही निष्कर्ष असत्य हैं। क्योकि कि निष्कर्ष I, ‘या तो संभावना’ (either possibility) को व्यक्त कर रहा है जिसमें संभावित स्थिति के अनुसार ‘N = Z’ कथनों के केवल एक क्रम को अनुसरण करता है पर नियमानुसार यदि कोई एक ही निष्कर्ष दो संभावनाओं को व्यक्त करता हो, तो ऐसा निष्कर्ष असत्य माना जाता है। साथ ही निष्कर्ष I में N को Z से बड़ा के रूप में (N > Z) दर्शाया गया है जबकि कथनानुसार N और Z के बीच ऐसा संबंध संभव ही नहीं है।

इसी प्रकार निष्कर्ष II भी असत्य है क्योकि कि संभावना I के तहत N और P में कोई संबंध स्थापित नहीं हो रहा है। जबकि संभावना II के आधार पर ‘P’, N से बड़ा है। लेकिन यहाँ ध्यान रहे कि यदि निष्कर्ष II में ‘P > N’ भी होता तो भी वह असत्य ही माना जाता। क्योकि कि यदि कथनों को संयोजित करने पर दो स्थितियाँ प्राप्त होती है, तो ऐसी स्थिति में कोई भी निष्कर्ष तभी सत्य होते हैं जबकि वे निष्कर्षों की सत्यता के निर्धारण के लिये व्यक्त किये गये निम्नलिखित नियम का अनुपालन करें।

निष्कर्षों की सत्यता का निर्धारण

• निष्कर्ष की सत्यता या असत्यता के लिये कथनों एवं निष्कर्षों दोनों के ही संयोजन की स्थिति पर गौर करना चाहिए।
• यदि कथनों को संयोजित करने पर केवल एक ही क्रम प्राप्त हो तो दिये गए निष्कर्षों में से जो भी निष्कर्ष इन्हें अनुसरण करेंगे वह बिल्कुल ही सत्य माना जाएगा।
• यदि कथनों को संयोेजित करने पर केवल एक ही क्रम प्राप्त होता हो लेकिन दिये गए निष्कर्षों में से कोई भी इसे अनुसरण नहीं करता हो तो ऐसा निष्कर्ष असत्य माना जाएगा।
• यदि कथनों को संयोजित करने पर दो संभावित स्थितियाँ प्राप्त होती हों तो ऐसी स्थिति में:

1. यदि दिया गया कोई निष्कर्ष दोनों ही स्थितियों को समान रूप से अनुसरण करता हो तो ऐसा निष्कर्ष निश्चित रूप से सत्य माना जाएगा।
2. यदि दिया गया निष्कर्ष केवल एक ही संभावित स्थिति को अनुसरण करता हो, तो ऐसा निष्कर्ष असत्य माना जाएगा।
3. यदि दिये गए दोनों ही निष्कर्ष अलग-अगल संभावित स्थितियों को अनुसरण करते हों पर इनमें प्रयुक्त अवयव भिन्न हों तो ऐसा निष्कर्ष निश्चित रूप से असत्य माना जाएगा।
4. यदि दिये गए दोनों ही निष्कर्ष अलग-अलग संभावित स्थितियों को अनुसरण करते हों साथ ही इनमें प्रयुक्त अवयव समान हों (जैसे- P > Q @ P = Q) तो ऐसे निष्कर्ष या तो I या II के रूप में सत्य माने जायेंगे।

साधित उदाहरण (Solved Examples)

उदाहरण 1-5: निम्नलिखित प्रश्नों में $, #, @, © और % प्रतीक नीचे बताए गए अर्थों में प्रयोग किए गए हैं:

• ‘P @ Q’ का अर्थ ‘P, Q से छोटा नहीं है’।
• ‘P $ Q’ का अर्थ है ‘P, Q’ से बड़ा नहीं है’।
• ‘P % Q’ का अर्थ है ‘P, Q’ से न तो बड़ा है न बराबर है’।
• ‘P # Q’ का अर्थ है ‘P, Q से न तो छोटा है न बराबर है’।
• ‘P © Q’ का अर्थ है ‘P, Q से न तो छोटा है न बड़ा है’।

अब निम्नलिखित में से प्रत्येक प्रश्न में दिए गए कथन को सत्य मानते हुए पता लगाइए कि दिए गए निष्कर्षों I व II में से कौन-सा/से निश्चित रूप से सत्य है/हैं ?

---

1. कथनः H @ M, M $ D, D % N

निष्कर्षः

I. N # M

II. N © H

1. केवल निष्कर्ष I सत्य है।
2. केवल निष्कर्ष II सत्य है।
3. या तो निष्कर्ष I या II सत्य है।
4. न तो निष्कर्ष I न ही II सत्य है।
5. दोनों निष्कर्ष I और II सत्य हैं।

हल (1): 

H @ M ⇒ H ≥ M

M $ D ⇒ M ≤ D

D % N ⇒ D < Nअतः, H ≥ M ≤ D < Nनिष्कर्ष I. N # M ⇒ N > M: सत्य
निष्कर्ष II. N © H ⇒ N = H: असत्य

---

2. कथनः R # T, T @ J, J © B

निष्कर्षः

I. B $ T

II. J % R

1. केवल निष्कर्ष I सत्य है।
2. केवल निष्कर्ष II सत्य है।
3. या तो निष्कर्ष I या II सत्य है।
4. न तो निष्कर्ष I न ही II सत्य है।
5. दोनों निष्कर्ष I और II सत्य हैं।

हल (5): R # T ⇒ R > T

T @ J ⇒ T ≥ J

J © B ⇒ J = B

अतः R > T > J = B

निष्कर्ष I. B $ T ⇒ B ≤ T: सत्य
निष्कर्ष II. J % R ⇒ J < R: सत्य

---

3. कथनः M $ K, K # W, R @ W

निष्कर्षः

I. M % W

II. R # K

1. केवल निष्कर्ष I सत्य है।
2. केवल निष्कर्ष II सत्य है।
3. या तो निष्कर्ष I या II सत्य है।
4. न तो निष्कर्ष I न ही II सत्य है।
5. दोनों निष्कर्ष I और II सत्य हैं।

हल (4): M $ K ⇒ M ≤ K K # W ⇒ K > W

R @ W ⇒ R ≥ W

अतः M ≤ K > W ≤ R

निष्कर्ष I. M % W ⇒ M < W: असत्य निष्कर्ष II. R # K ⇒ R > K: असत्य

---

4. कथनः Z © T, T % D, D # K

निष्कर्षः

I. K % Z

II. D # K

1. केवल निष्कर्ष I सत्य है।
2. केवल निष्कर्ष II सत्य है।
3. या तो निष्कर्ष I या II सत्य है।
4. न तो निष्कर्ष I न ही II सत्य है।
5. दोनों निष्कर्ष I और II सत्य हैं।

हल (2): Z © T ⇒ Z = T

T % D ⇒ T < D, D # K ⇒ D > K

अत: = T < D > K

निष्कर्ष I. K % Z ⇒ K < Z : असत्य निष्कर्ष II. D # Z ⇒ D > Z : सत्य

---

5. कथनः A % F, F © R, R $ B

निष्कर्षः

I. A % B

II. B @ F

1. केवल निष्कर्ष I सत्य है।
2. केवल निष्कर्ष II सत्य है।
3. या तो निष्कर्ष I या II सत्य है।
4. न तो निष्कर्ष I न ही II सत्य है।
5. दोनों निष्कर्ष I और II सत्य हैं।

हल (5): A % F ⇒ A < FF © R ⇒ F = RR $ B ⇒ R ≤ Bअतः, A < F = R ≤ Bनिष्कर्ष I. A % B ⇒ A < B: सत्य निष्कर्ष I.B @ F ⇒ B ≥ F: सत्य

---

निर्देश (6-10): निम्नलिखित प्रश्नों में प्रतीक @, ©, %, $ और * को निम्नानुसार अर्थों में प्रयुक्त किया गया है:

• ‘P © Q’ का अर्थ है ‘P, Q से बड़ा नहीं है।’
• ‘P & Q’ का अर्थ है ‘P, Q से छोटा नहीं है।’
• ‘P % Q’ का अर्थ है ‘P न तो Q से बड़ा और न ही समान है।’
• ‘P $ Q’ का अर्थ है ‘P न तो Q से छोटा और न ही समान है।’
• ‘P @ Q’ का अर्थ है ‘P न तो Q से बड़ा और न ही छोटा है।’

निम्नलिखित प्रत्येक प्रश्न में दिए गए कथनों को सत्य मानते हुए, पता लगाइए कि उनके नीचे दिए गए तीन निष्कर्ष I, II और III में से कौन-सा/कौन-से निश्चित रूप से सत्य है/हैं?

6. कथन: J $ D, D © K, K % R

निष्कर्ष:

I. R $ J

II. R $ D

III. K $ J

1. कोई कथन नहीं है
2. केवल I सत्य है
3. केवल II सत्य है
4. केवल III सत्य है
5. केवल II और III सत्य हैं

हल (3): J > D, D ≤ K, K < R सभी को मिलाने पर J > D ≤ K < R या R > D

अतः केवल II सत्य है।

---

7. कथन: M & K, K @ R, R % N

निष्कर्षः

I. R % M

II. R @ M

III. N $ K

1. केवल I सत्य है
2. केवल II सत्य है
3. केवल III सत्य है
4. केवल या तो I या II सत्य है
5. केवल या तो I या II और III सत्य है

हल (5): M ≥ K, K = R, R < Nसभी को मिलाने परM ≥ K = R < N या R ≤ M और N > K

अतः या तो I या II और III सत्य है।

---

8. कथन: B % H, H $ J, J & M

निष्कर्ष:

I. B % J

II. M % B

III. H $ M

1. कोई सत्य नहीं है
2. केवल I सत्य है
3. केवल II सत्य है
4. केवल III सत्य है
5. केवल II और III सत्य हैं

हल (4): B < H, H > J, J ≥ M

सभी को मिलाने पर

B < H > J ≥ M

या H > M

अतः केवल III सत्य है।

---

9. कथन: Z © K, K % E, E @ R

निष्कर्ष:

I. R $ K

II. Z % E

III. R $ Z

1. केवल I सत्य है
2. केवल I और II सत्य हैं
3. केवल I और III सत्य हैं
4. केवल II और III सत्य हैं
5. I, II और III सभी सत्य हैं

हल (5): Z ≤ K, K < E, E = Rसभी को मिलाने परZ ≤ K < E = R या R > K, Z < E और R > Z

अतः सभी सत्य हैं।

---

10. कथन: W @ M, M © R, R $ F

निष्कर्ष:

I. F % M

II. R & W

III. W % F

1. कोई सत्य नहीं है
2. केवल I सत्य है
3. केवल II सत्य है
4. केवल III सत्य है
5. केवल I और II सत्य हैं

हल (3): W = M, M ≤ R, R > F

सभी को मिलाने पर

W = M ≤ R > F या R ≥ W

अतः केवल II सत्य है।

गणितीय संक्रियाएँ

गणितीय संक्रियाएँ (Mathematical Operations) शार्ट ट्रिक और उदहारण

दिये गए गणितीय व्यंजक के वास्तविक गणितीय/अक्षर युक्त चिह्नों को निर्देशानुसार परिवर्तित करते हुए व्यंजक को हल करने की प्रक्रिया को गणितीय संक्रियाएँ कहते हैं।

इस प्रकार की परीक्षा में ‘+’, ‘-‘, ‘×’ और ‘÷’ से युक्त या ‘P’, ‘Q’ या कोई अन्य संकेतों से युक्त अंकों की गणितीय व्यंजक दी जाती है। प्रतियोगियों को दिऐ गए व्यंजक में प्रयुक्त चिह्नों को प्रश्नानुसार परिवर्तित करते हुए व्यंजक को हल करना होता है।

पूछे जाने वाले प्रश्नों पर एक दृष्टि

उदाहरण 1. यदि ‘+’ का अर्थ ‘÷’, ‘÷’ का अर्थ ‘-‘, ‘-‘ का अर्थ ‘×’ और ‘×’ का अर्थ ‘+’ हो, तो

12 + 6 + 3 – 2 × 8 = ?

1. 8
2. 2
3. 4
4. 22

हल (3): दिया गया व्यंजक- 12 + 6 ÷ 3 – 2 × 8 = ?

प्रश्नानुसार, गणितीय चिह्नों को परिवर्तित करने पर:

12 ÷ 6 – 3 × 2 + 8 = ?

अतः ? ⇒ 4

उदाहरण 2. यदि ‘P’ का अर्थ ‘÷’, ‘Q’ का अर्थ ‘×’, ‘R’ का अर्थ ‘+’ और ‘S’ का अर्थ ‘-‘ हो, तो

18 Q 12 P 4 R 5 S 6 = ?

1. 56
2. 36
3. 53
4. 59

हल (3): दिया गया व्यंजक: 18 Q 12 P 4 R 5 S 6 = ? = ?

प्रश्नानुसार, अक्षरों को गणितीय चिह्नों में परिवर्तित करने पर:

18 × 12 ÷ 4 + 5 – 6 = ? = 59 – 6 = 53

अतः ? ⇒ 53

उदाहरण 3. यदि ‘-‘ का अर्थ ‘+’, ‘+’ का अर्थ ‘-‘, ‘×’ का अर्थ ‘÷’ और ‘÷’ का अर्थ ‘×’ हो, तो नीचे लिखे गये समीकरणों में से कौन-सा समीकरण सत्य है?

1. 30 + 5 – 4 ÷ 10 × 5 = 58
2. 30 + 5 ÷ 4 – 10 × 5 = 22
3. 30 – 5 + 4 ÷ 10 × 5 = 62
4. 30 × 5 – 4 ÷ 10 + 5 = 41

हल (4): विकल्प (4) से : 30 × 5 – 4 ÷ 10 + 5 = 41

प्रश्नानुसार, गणितीय चिह्नों को परिवर्तित करने पर:

30 ÷ 5 + 4 × 10 – 5 = 41

= 6 + 40 – 5 = 41

= 46 – 5 = 41

अतः विकल्प (4) सत्य है।

उदाहरण 4. एक हाउसिंग सोसाइटी के 38 परिवारों में से 5 परिवार सिर्फ हिंदी अखबार लेते हैं, 12 परिवार हिंदी और मराठी दोनों अखबार लेते हैं। मराठी अखबार लेने वाले की संख्या का पता लगाएं।

1. 33
2. 21
3. 17
4. निर्धारित नहीं किया जा सकता

हल (1):

मराठी अखबार लेने वालों की संख्या = 12 + 21 = 33

साधित उदाहरण (Solved Examples)

1. यदि ‘M’ का अर्थ ‘÷’ है, R का अर्थ ‘+’ है, T का अर्थ ‘-‘ है तथा ‘K’ का अर्थ ‘×’ है तो 20 R 16 K 5 M 10 T 8 = ?

1. 36
2. 20
3. 36.5
4. 12

हल (2): ? = 20 + 16 × 5 ÷ 10 – 8

या ? = 20 + 16 ×5/10 – 8

या ? = 20 + 8 – 8 = 20

2. एक कक्षा में 2 विषयों में से, कुल 32 विद्यार्थी मनोविज्ञान पढ़ते हैं और 26 विद्यार्थी समाज विज्ञान पढ़ते हैं। यदि 16 विद्यार्थियों ने दोनों में विशेषज्ञता प्रदान करने का निर्णय लिया तो कक्षा में कुल कितने विद्यार्थी हैं?

1. 74
2. 58
3. 42
4. डाटा अपर्याप्त है

हल (3): दिए गए कथनों का वेन आरेख इस प्रकार होगा:

कक्षा में विद्यार्थियों की कुल संख्या = 16 + 16 + 10 = 42

3. यदि संख्या 1 से 30 में जिन संख्याओं में केवल एक अंक ‘2’ हो, उन संख्याओं को और जो 2 द्वारा विभाजित होती हों, उनको भी हटा दिया जाए, तो शेष कितनी संख्याएँ बचेंगी?

1. 14
2. 10
3. 15
4. 16

हल (2):

∴ शेष संख्याएँ 10 हैं।

प्रश्न-संख्या (4-8): निम्नलिखित जानकारी को ध्यान से पढ़िए और दिए गए प्रश्नों के उत्तर दीजिए:

किसी निश्चित कोड भाषा में, 0 (शून्य) का प्रतीक ∆ (डेल्टा) है तथा 1 का प्रतीक $ है। एक से बड़ी संख्याओं के लिए कोई अन्य प्रतीक नहीं है। एक से बड़ी संख्याओं को ऊपर दिए गए केवल दो प्रतीकों का उपयोग कर लिखा जा सकता है। निम्नलिखित उदाहरणों का अध्ययन करें:

• ‘0’ को लिखा जाता है – ∆
• ‘1’ को लिखा जाता है – $
• ‘2’ को लिखा जाता है – $∆
• ‘3’ को लिखा जाता है – $$
• ‘4’ को लिखा जाता है – $∆∆

तथा इसी प्रकार आगे भी।

4. निम्नलिखित में से कौन-सा 7 × (1 + 4 ÷ 2) प्रदर्शित करेगा?

1. $∆$∆$
2. $$∆$∆
3. $∆∆$$
4. $∆∆$$

5. निम्नलिखित प्रतीक व्यवस्था में से कौन-सा ‘9’ को प्रदर्शित करेगा?

1. ∆$$$
2. $∆$∆
3. $∆∆$
4. $$∆∆

6. प्रतीक व्यवस्था $∆∆$$ किस संख्या को प्रदर्शित करता है?

1. 19
2. 25
3. 17
4. 16

7. प्रतीक व्यवस्था $$$∆∆$∆ किस संख्या को प्रदर्शित करता है?

1. 28
2. 48
3. 26
4. 50

8. निम्न में से कौन-सी संख्या 24 को निरूपित करता है?

1. $∆∆$∆
2. $$∆∆∆
3. $$$∆∆
4. $∆∆$$

---

प्रश्न-संख्या (4-8) का हलः

ये प्रश्न बाइनरी सिस्टम पर आधारित हैं जो अंक ‘0’ और ‘1’ से बना है, यहां क्रमश: $ और Δ द्वारा दर्शाया गया है।

4. (4): 7 × (1 + 4 ÷ 2) = 7 × (1 + 2) = 7 × 3 = 21

21 = 16 + 0 + 4 + 0 + 1

= 1 × 2⁴ + 0 × 2² + 1 × 2² + 0 × 2¹ + 1 × 2⁰

= (10101)₂

5. (3): 9 = 8 + 0 + 0 + 1

= 1× 2³ + 0 × 2² + 0 × 2¹ + 1 × 2⁰ = (10001)₂

6. (1): $∆∆$$ = (10011)₂

= 1 × 24 + 0 × 2³ + 0 × 2² + 1 × 2¹ + 1 × 2⁰

= 16 + 0 + 0 + 2 + 1 = 19

7. (4): $$∆∆$$∆ = (1100010)₂

= 1 × 2⁵ + 1 × 24 + 0 × 2³ + 0 × 2² + 1 × 2¹ + 0 × 2⁰

= 32 + 16 + 0 + 0 + 2 + 0 = 50

8. (2): 24 = 16 + 8 + 0 + 0 + 0

= 1 × 24 + 1 × 2³ + 0 × 2² + 0 × 2¹ + 0 × 2⁰

= (11000)₂