प्रमेय 6.6 कक्षा X

"दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात इनकी संगत भुजाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है"।

दियाः-

दो त्रिभुज क्रमशः ABC एवं PQR समरूप हैं।

सिद्द करना है किः-

ar(ABC)/ar(PQR) = (AB/PQ)² = (BC/QR)² = (AC/QR)²

रचनाः-

AM एवं PN क्रमशः BC एवं QR पर लम्ब डाला।

उपपत्तिः-

ar(ABC) = BCxAM/2

ar(PQR) =  QRxPN/2
ar(ABC)/ar(PQR) = BCxAM/QRxPN ............................ (i)

अब, त्रिभूज ABM एवं PQN में विचार करने पर
<B = <Q {त्रिभूज ABC समरूप PQR}
<M = <N {प्रत्येक समकोण}
<BAN = <QPN {शेष कोण}
AAA समरूपता से त्रिभूज ABM एवं PQN समरूप है।
AB/PQ = AM/PN ............................. (ii)

अब (i) तथा (ii) से
ar(ABC)/ar(PQR) = BCxAB/QRxPQ .............................. (iii)

त्रिभुज ABC एवं PQR समरूप है।
इसलिए
AB/PQ = BC/QR = AC/PR .............................. (iv)

अब (iii) तथा (iv) से
ar(ABC)/ar(PQR) = (AB/PQ)² = (BC/QR)² = (AC/QR)² सिद्द हो गया।