गणितीय संक्रियाएँ

गणितीय संक्रियाएँ (Mathematical Operations) शार्ट ट्रिक और उदहारण

दिये गए गणितीय व्यंजक के वास्तविक गणितीय/अक्षर युक्त चिह्नों को निर्देशानुसार परिवर्तित करते हुए व्यंजक को हल करने की प्रक्रिया को गणितीय संक्रियाएँ कहते हैं।

इस प्रकार की परीक्षा में ‘+’, ‘-‘, ‘×’ और ‘÷’ से युक्त या ‘P’, ‘Q’ या कोई अन्य संकेतों से युक्त अंकों की गणितीय व्यंजक दी जाती है। प्रतियोगियों को दिऐ गए व्यंजक में प्रयुक्त चिह्नों को प्रश्नानुसार परिवर्तित करते हुए व्यंजक को हल करना होता है।

पूछे जाने वाले प्रश्नों पर एक दृष्टि

उदाहरण 1. यदि ‘+’ का अर्थ ‘÷’, ‘÷’ का अर्थ ‘-‘, ‘-‘ का अर्थ ‘×’ और ‘×’ का अर्थ ‘+’ हो, तो

12 + 6 + 3 – 2 × 8 = ?

1. 8
2. 2
3. 4
4. 22

हल (3): दिया गया व्यंजक- 12 + 6 ÷ 3 – 2 × 8 = ?

प्रश्नानुसार, गणितीय चिह्नों को परिवर्तित करने पर:

12 ÷ 6 – 3 × 2 + 8 = ?

अतः ? ⇒ 4

उदाहरण 2. यदि ‘P’ का अर्थ ‘÷’, ‘Q’ का अर्थ ‘×’, ‘R’ का अर्थ ‘+’ और ‘S’ का अर्थ ‘-‘ हो, तो

18 Q 12 P 4 R 5 S 6 = ?

1. 56
2. 36
3. 53
4. 59

हल (3): दिया गया व्यंजक: 18 Q 12 P 4 R 5 S 6 = ? = ?

प्रश्नानुसार, अक्षरों को गणितीय चिह्नों में परिवर्तित करने पर:

18 × 12 ÷ 4 + 5 – 6 = ? = 59 – 6 = 53

अतः ? ⇒ 53

उदाहरण 3. यदि ‘-‘ का अर्थ ‘+’, ‘+’ का अर्थ ‘-‘, ‘×’ का अर्थ ‘÷’ और ‘÷’ का अर्थ ‘×’ हो, तो नीचे लिखे गये समीकरणों में से कौन-सा समीकरण सत्य है?

1. 30 + 5 – 4 ÷ 10 × 5 = 58
2. 30 + 5 ÷ 4 – 10 × 5 = 22
3. 30 – 5 + 4 ÷ 10 × 5 = 62
4. 30 × 5 – 4 ÷ 10 + 5 = 41

हल (4): विकल्प (4) से : 30 × 5 – 4 ÷ 10 + 5 = 41

प्रश्नानुसार, गणितीय चिह्नों को परिवर्तित करने पर:

30 ÷ 5 + 4 × 10 – 5 = 41

= 6 + 40 – 5 = 41

= 46 – 5 = 41

अतः विकल्प (4) सत्य है।

उदाहरण 4. एक हाउसिंग सोसाइटी के 38 परिवारों में से 5 परिवार सिर्फ हिंदी अखबार लेते हैं, 12 परिवार हिंदी और मराठी दोनों अखबार लेते हैं। मराठी अखबार लेने वाले की संख्या का पता लगाएं।

1. 33
2. 21
3. 17
4. निर्धारित नहीं किया जा सकता

हल (1):

मराठी अखबार लेने वालों की संख्या = 12 + 21 = 33

साधित उदाहरण (Solved Examples)

1. यदि ‘M’ का अर्थ ‘÷’ है, R का अर्थ ‘+’ है, T का अर्थ ‘-‘ है तथा ‘K’ का अर्थ ‘×’ है तो 20 R 16 K 5 M 10 T 8 = ?

1. 36
2. 20
3. 36.5
4. 12

हल (2): ? = 20 + 16 × 5 ÷ 10 – 8

या ? = 20 + 16 ×5/10 – 8

या ? = 20 + 8 – 8 = 20

2. एक कक्षा में 2 विषयों में से, कुल 32 विद्यार्थी मनोविज्ञान पढ़ते हैं और 26 विद्यार्थी समाज विज्ञान पढ़ते हैं। यदि 16 विद्यार्थियों ने दोनों में विशेषज्ञता प्रदान करने का निर्णय लिया तो कक्षा में कुल कितने विद्यार्थी हैं?

1. 74
2. 58
3. 42
4. डाटा अपर्याप्त है

हल (3): दिए गए कथनों का वेन आरेख इस प्रकार होगा:

कक्षा में विद्यार्थियों की कुल संख्या = 16 + 16 + 10 = 42

3. यदि संख्या 1 से 30 में जिन संख्याओं में केवल एक अंक ‘2’ हो, उन संख्याओं को और जो 2 द्वारा विभाजित होती हों, उनको भी हटा दिया जाए, तो शेष कितनी संख्याएँ बचेंगी?

1. 14
2. 10
3. 15
4. 16

हल (2):

∴ शेष संख्याएँ 10 हैं।

प्रश्न-संख्या (4-8): निम्नलिखित जानकारी को ध्यान से पढ़िए और दिए गए प्रश्नों के उत्तर दीजिए:

किसी निश्चित कोड भाषा में, 0 (शून्य) का प्रतीक ∆ (डेल्टा) है तथा 1 का प्रतीक $ है। एक से बड़ी संख्याओं के लिए कोई अन्य प्रतीक नहीं है। एक से बड़ी संख्याओं को ऊपर दिए गए केवल दो प्रतीकों का उपयोग कर लिखा जा सकता है। निम्नलिखित उदाहरणों का अध्ययन करें:

• ‘0’ को लिखा जाता है – ∆
• ‘1’ को लिखा जाता है – $
• ‘2’ को लिखा जाता है – $∆
• ‘3’ को लिखा जाता है – $$
• ‘4’ को लिखा जाता है – $∆∆

तथा इसी प्रकार आगे भी।

4. निम्नलिखित में से कौन-सा 7 × (1 + 4 ÷ 2) प्रदर्शित करेगा?

1. $∆$∆$
2. $$∆$∆
3. $∆∆$$
4. $∆∆$$

5. निम्नलिखित प्रतीक व्यवस्था में से कौन-सा ‘9’ को प्रदर्शित करेगा?

1. ∆$$$
2. $∆$∆
3. $∆∆$
4. $$∆∆

6. प्रतीक व्यवस्था $∆∆$$ किस संख्या को प्रदर्शित करता है?

1. 19
2. 25
3. 17
4. 16

7. प्रतीक व्यवस्था $$$∆∆$∆ किस संख्या को प्रदर्शित करता है?

1. 28
2. 48
3. 26
4. 50

8. निम्न में से कौन-सी संख्या 24 को निरूपित करता है?

1. $∆∆$∆
2. $$∆∆∆
3. $$$∆∆
4. $∆∆$$

---

प्रश्न-संख्या (4-8) का हलः

ये प्रश्न बाइनरी सिस्टम पर आधारित हैं जो अंक ‘0’ और ‘1’ से बना है, यहां क्रमश: $ और Δ द्वारा दर्शाया गया है।

4. (4): 7 × (1 + 4 ÷ 2) = 7 × (1 + 2) = 7 × 3 = 21

21 = 16 + 0 + 4 + 0 + 1

= 1 × 2⁴ + 0 × 2² + 1 × 2² + 0 × 2¹ + 1 × 2⁰

= (10101)₂

5. (3): 9 = 8 + 0 + 0 + 1

= 1× 2³ + 0 × 2² + 0 × 2¹ + 1 × 2⁰ = (10001)₂

6. (1): $∆∆$$ = (10011)₂

= 1 × 24 + 0 × 2³ + 0 × 2² + 1 × 2¹ + 1 × 2⁰

= 16 + 0 + 0 + 2 + 1 = 19

7. (4): $$∆∆$$∆ = (1100010)₂

= 1 × 2⁵ + 1 × 24 + 0 × 2³ + 0 × 2² + 1 × 2¹ + 0 × 2⁰

= 32 + 16 + 0 + 0 + 2 + 0 = 50

8. (2): 24 = 16 + 8 + 0 + 0 + 0

= 1 × 24 + 1 × 2³ + 0 × 2² + 0 × 2¹ + 0 × 2⁰

= (11000)₂

बैठकी व्यवस्थीकरण

बैठकी व्यवस्थीकरण (Seating Arrangement) शार्ट ट्रिक और उदहारण

दिए गये विशेष परिस्थिति के अनुसार व्यक्ति या वस्तु के समूह को एक सुव्यवस्थित क्रम में बैठाने की प्रक्रिया को बैठकी व्यवस्थिकरण कहते हैं।

इस प्रकार के प्रश्नों में कुछ व्यक्तियों या वस्तुओं के समूह दिये हुए होते हैं तथा उनका स्थान भी दिया होता है। प्रतियोगियों को किसी एक व्यक्ति या वस्तु का स्थान किसी दूसरे व्यक्ति या वस्तु के सापेक्ष में ज्ञात करना होता है।

पूछे जाने वाले प्रश्नों पर एक दृष्टि

उदाहरण 1. छः विद्यार्थी A, B, C, D, E और F एक कतार में खड़े हैं। ‘B’, C और D के बीच में है। ‘E’, A और C के बीच में है। ‘A’, F या D के बगल में खड़ा नहीं है। ‘C’, D के बगल में खड़ा नहीं है। बताएँ कि ‘F’ निम्नलिखित में से कौन-सा जोड़ा के बीच में है?

1. B और C
2. B और D
3. B और A
4. B और E

हल (1): छः विद्यार्थी A, B, C, F और F का कतार में खड़े होने का क्रम निम्न प्रकार है-

उपर्युक्त आरेख से स्पष्ट है कि ‘F’, B और C के बीच खड़ा है।

उदाहरण 2. P, Q, R और S कैरम खेल रहे हैं। P एवं R तथा S एवं Q आपस में जोड़ीदार (Partner) हैं। ‘S’, R के दाईं ओर है जिसका मुँह पश्चिम की ओर है। बताएँ कि Q का मुँह किस दिशा की ओर है?

1. दक्षिण
2. उत्तर
3. पश्चिम
4. पूरब

हल (2): P, Q, R और S की स्थिति निम्न प्रकार है-

अतः ‘Q’ का मुँह उत्तर की ओर है।

नोट: वृत्त, वर्ग, त्रिभुज या किसी भी घिरे हुए क्षेत्र के case में ‘Anticlockwise’ का अर्थ दायीं ओर (to the right) एवं ‘clockwise’ का अर्थ बायीं ओर (to the left) move होता है। अर्थात् यदि हमें किसी के दायीं ओर जाना हो तो हम ‘Anticlockwise’ move करेंगे जबकि Direction sense के case में clockwise का अर्थ दायीं ओर एवं anticlockwise का अर्थ बायीं ओर माना जाता हैं।

उदाहरण 3. यदि छः व्यक्ति A, B, C, D, E और F असमान क्रम में एक वृत्ताकार घेरे में खड़े हैं। ‘B’, F और C के बीच में है। ‘A’, E और D के बीच में है और ‘F’, D के बाईं ओर है। बताएँ कि निम्नलिखित में से कौन-सा व्यक्ति A और F के बीच में होगा?

1. E
2. D
3. C
4. B

हल (2): छः व्यक्ति A, B, C, D, E और F का वृत्ताकार घेरे में खड़े होने का क्रम निम्न प्रकार है-

आरेख से स्पष्ट है, कि A और F के बीच में D है।

अतः A और F के बीच में D होगा।

उदाहरण 4. छह सदस्य P, Q, R, G, S एवं M एक वृत के चारों ओर केंद्र की ओर मुंह करके बैठे हैं

(i) R, G एवं P के बीच में है।

(ii) M, P एवं S के बीच में है।

इस व्यवस्था में Q का स्थान क्या है?

1. निर्धारित नहीं किया जा सकता
2. G एवं S के बीच में
3. G के एकदम बाएं
4. S के एकदम दाएं

हल (2): दिए गए व्यवस्था में बैठने का क्रम इस प्रकार है:

स्थिति I:

स्थिति II:

अतः Q का स्थान दोनों स्थितियों में, G एवं S के बीच में है।

उदाहरण 5. सचिन मीना के ठीक बाईं ओर बैठा है परंतु भारती के निकट नहीं है। प्रवीण भारती के दाईं ओर बैठा है। यदि चारों मित्र एक वृत्त के अनुदिश बैठे हैं तो मीना के ठीक दाईं ओर कौन बैठा है?

1. प्रवीण
2. भारती
3. सचिन
4. मीना

हल (2):

साधित उदाहरण (Solved Examples)

निर्देश (1-5): ये प्रश्न निम्नलिखित जानकारियों पर आधारित हैं। इन जानकारियों को ध्यान से पढ़कर प्रत्येक प्रश्न का उत्तर दीजिए-

(i) A, B, C, D, E, F और G पूर्व की ओर मुँह करके एक दीवार पर बैठे हैं।

(ii) ‘C’, ‘D’ के ठीक दाईं ओर है।

(iii) ‘B’ अंतिम किसी छोर पर है तथा उसके पड़ोस में E है।

(iv) ‘G’, ‘E’ और ‘F’ के बीच में है।

(v) ‘D’ दक्षिण की ओर से तीसरा है।

1. निम्नलिखित में से कौन-सा व्यक्तियों का जोड़ा अंतिम सिरों पर बैठे व्यक्तियों का है?

1. AE
2. AB
3. FB
4. CB
5. ज्ञात नहीं किया जा सकता

2. निम्नलिखित में से कौन-सी जानकारी A के स्थान को ज्ञात करने के लिए आवश्यक नहीं है?

1. (i)
2. (ii)
3. (iii)
4. सभी जानकारियाँ आवश्यक हैं
5. इनमें से कोई नहीं

3. ‘D’ निम्नलिखित में से कौन-से जोड़ा के बीच में बैठा है?

1. CE
2. AC
3. CF
4. AF
5. इनमें से कोई नहीं

4. निम्नलिखित में से कौन-सा व्यक्ति ‘C’ से जगह बदल ले तो वह उत्तरी सिरे से तीसरा हो जाएगा?

1. G
2. F
3. E
4. ज्ञात नहीं किया जा सकता
5. इनमें से कोई नहीं

5. E के ठीक दाईं ओर कौन बैठा है?

1. F
2. D
3. C
4. A
5. इनमें से कोई नहीं

हल: A, B, C, D, E, F और G के पूर्व की ओर मुँह करके दीवार में बैठने का क्रम निम्न प्रकार है-

1. (2): A और B अंतिम सिरों पर बैठे व्यक्तियों का जोड़ा है।

2. (4): सभी जानकारियाँ आवश्यक हैं।

3. (3): D, C और F के बीच में बैठा है।

4. (5): C से जगह बदल लेने पर कोई भी व्यक्ति उत्तरी सिरे से तीसरा कभी नहीं हो सकता, क्योंकि C से जगह बदलने वाला कोई भी व्यक्ति हर हाल में उत्तरी सिरे से छठा होगा।

5. (5): E के दाईं ओर G बैठा है।

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निर्देश (6-10): नीचे दी गई जानकारी का अधययन कर इन प्रश्नों के उत्तर दीजिए।

(i) P, Q, R, S, T, U और V केन्द्र की ओर मुंह किए एक वृत के गिर्द बैठे हैं।

(ii) P, V और S के बीच हैं।

(iii) R, जो S के दाएं दूसरा है, Q और U के बीच हैं।

(iv) Q, T का पड़ोसी नहीं हैं।

6. निम्नलिखित में से सही कथन कौन-सा है?

1. V, P और S के बीच है
2. S, V के बाएं दूसरा है।
3. R, P के बाएं तीसरा हैं
4. P, S के तुरंत बाएं है
5. इनमें से कोई नही

7. T का स्थान कौन-सा है?

1. R और V के बीच
2. V के तुरंत बाएं
3. R के बाएं दूसरा
4. P के बाएं दूसरा
5. इनमें से कोई नहीं

8. R और U के बीच कौन हैं?

1. निर्धारित नहीं किया जा सकता
2. S
3. V
4. Q
5. इनमें से कोई नही

9. निम्नलिखित में से गलत कथन कौन-सा है?

1. R, U के तुरंत दाएं है
2. Q, R के तुरंत बाएं
3. T, Q के दाएं से तीसरा है
4. U, T के तुरंत बाएं है
5. इनमें से कोई नहीं

10. निम्नलिखित में से किस जोड़े का दूसरा सदस्य पहले सदस्य के तुरंत दाए बैठा है?

1. QS
2. PV
3. RU
4. VT
5. इनमें से कोई नहीं

हल: 6-10): बैठने का क्रम इस प्रकार है-