पाइथागोरस प्रमेय

पाइथागोरस प्रमेय

"समकोण  त्रिभुज में कर्ण का वर्ग अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योगफल के बराबर होता है"।

दिया है ः-

ABC एक समकोण त्रिभुज है  जिसमें AC कर्ण है . AB एवं BC अन्य दो भुजाएं है।

सिद्ध करना है कि :-
(AC)² = (AB)² + (BC)²

रचना :-
AC पर BD लम्ब डाला

प्रमाण:-
समकोण त्रिभुज ABC एवं ADB में विचार करने पर
<BAC = <BAD            (उभयनिष्ठ)
<ABC = <ADB           (प्रत्येक समकोण)
<ACB = <ABD           (शेष कोण)
त्रिभुज ABC एवं ADB समरूप AAA समरूपता से
AC/AB = AB/AD
ACxAD = (AB)²  .....................  (i)

समकोण त्रिभुज ABC एवं BDC में विचार करने पर
<ACB = <BCD            (उभयनिष्ठ)
<ABC = <CDB           (प्रत्येक समकोण)
<CAB = <DBC           (शेष कोण)
त्रिभुज ABC एवं BDC समरूप AAA समरूपता से

AC/BC = BC/DC
ACxDC = (BC)²   .................... (ii)

अब (i) तथा (ii) को जोडने पर
ACxAD + ACxDC = (AB)² + (BC)²
AC(AD + DC) = (AB)² + (BC)²
चित्र से स्पष्ट है कि
AD + DC = AC
अतः  ACxAC = (AB)² + (BC)²

(AC)² = (AB)² + (BC)²
सिद्ध हो गया।