द्विघात समीकरण

द्विघात समीकरण को सामान्यतः

ax² + bx + c = 0

से निरूपित किया जाता है ,जहां a, b एवं c वास्तविक संख्या है तथा a का मान शून्य नही है।

द्विघात समीकरण में चर (x) का मान ज्ञात किया जाता है जिसे द्विघात समीकरण का मूल कहा जाता है।

किसी द्विघात समीकरण का दो और केवल दो ही मूल होता है जिसे क्रमशः α एवं β से निरूपित किया जाता है।

द्विघात समीकरण में a, b एवं c एक दूसरे से समन्धित होते है जो इस प्रकार है।

D = b² - 4ac

D को द्विघात समीकरण का विवेचक या विवित्तकर कहा जाता है।

D के मान से मूल की प्रकृति ज्ञात की जा सकती है।

1. मूल वास्तविक एवं आसमान होता है जब D का मान शून्य से बड़ा होता है।

2. मूल वास्तविक एवं समान होता है जब D का मान शून्य होता है

3. मूल वास्तविक नही होता है जब D का मान शून्य से छोटा होता है।

आगे जारी है ...........

9. Some Applications of Trigonometry

Class X

Exercise 9.1

NCERT Textbook Solution

Learning Points

• Angle of Elevation
• Angle of Depression

Angle of Elevation

The angle between line of sight and horizontal level when the observer is below the object is said to be angle of elevation.

Angle of Depression

The angle between line of sight and horizontal level when the observer is above the object is said to be the angle of depression.

Exercise 9.1

Q.No.1. 

 A circus artist is climbing a 20 m long rope, which is tightly stretched and tied from the top of a vertical pole to the ground. Find the height of the pole, if the angle made by the rope with the ground level is 30° (see Fig. 9.11).

Fig. 9.11

Solution:

From question it is clear that

Angle of Elevation = Ө = 30°

Height of the pole = AB = ?

Now applying trigonometric ratio sin𝞱

From figure it is clear that

sin𝞱 = AB/AC

Now putting the value of 

1/2 = AB/20

AB = 10 m Ans.

1. Real Numbers

Learning points in the point of view of 

Exercise 1.1 Class X Mathematics

• Euclid Division Lemma
• Euclid Division Algorithm
• Even Positive Integers
• Odd Positive Integers

Euclid Division Lemma

If a positive integer a is divided by b and remainder r is greater than or equal to zero but less than b. This statement is said to be Euclid Division Lemma.

In Mathematically it can be written as

a = bq + r

0≤ r⋖b

Euclid Division Algorithm

The stepwise calculation to find out the HCF of two positive integers by applying Euclid Division Lemma is said to be Euclid Division Algorithm.

Even Positive Integers

The positive integers which are completely divisible by 2 is said to be even positive integers.

Odd Positive Integers

The positive integers which are not completely divisible by 2 is said to be odd positive integers. 

Now we are able to solve the questions of Exercise 1.1

Introduction to Trigonometry .

Class X

Subject: Mathematics 

The ratios of sides in a right angle triangle is said to be trigonometric ratio.
The ratios of sides are as follows.
1. Perpendicular to hypotenuse
2. Base to hypotenuse
3. Perpendicular to base
4. Base to perpendicular
5. Hypotenuse to base
6. Hypotenuse to perpendicular

These ratios of sides are generally denoted by
1. sine (sin)
2. cosine (cos)
3. tangent (tan)
4. cotangent (cot)
5. secant (sec)
6. cosecant (cosec)

1.The opposite side of considering angle is identified as perpendicular.
2. The adjacent side of considering angle is identified as base.
3. The opposite side of right angle is identified as hypotenuse.

The right triangle ABC in which B is right angle. The considering angle can be either A or C.
When considering angle is C.
1.Perpendicular will be AB.
2. Base will be BC.
3. Hypotenuse will be AC.

When considering angle is A.
1. Perpendicular will be BC.
2. Base will be AB.
3. Hypotenuse will be AC.

There will be no change in the value of hypotenuse in both cases.

When considering angle is A.
The value of trigonometric ratios will be as follows.
1. sinA = BC/AC
2. cosA = AB/AC
3. tanA = BC/AB
4. cotA = AB/BC
5. secA = AC/AB
6. cosecA = AC/BC

When considering angle is C.
The value of trigonometric ratios will be as follows.

1. sinC = AB/AC
2. cosC = BC/AC
3. tanC = AB/BC
4. cotC = BC/AB
5. secA = AC/BC
6. cosecA = AC/AB

Here, the sum of angles A and C will be complementary or right angle.
Therefore,
A = 90⁰ - C
C = 90⁰ - A.
So,
sinA = cosC
cosA = sinC
tanA = cotC
cotA = tanC
secA = cosecC
cosecA = secC

We consider some special trigonometric ratios of 0⁰,30⁰, 45⁰, 60⁰ and 90⁰.

1.For 45⁰, we consider in an  isosceles triangle.
2. For 30⁰ and 60⁰ consider in an equilateral triangle.
3. For 0⁰ and 90⁰ coinsides the perpendicular and base with hypotenuse respectively.

All relations which are derived by Pythagoras theorem is said to be trigonometrical identities which is true for all values of considering angles.

In Right Angle Triangle ABC, in which angle B is right angle.

If considering angle is C which is θ.

AB² + BC² = AC²
When both sides divided by AC².

1. sin²θ + cos²θ = 1

This is a trigonometrical identity and true for all values of θ.

In this way, we find out rest other trigonometrical identities by dividing both sides by BC² and AC² respectively.

Rest others are as follows
4. 1 + tan²θ = sec²θ
5. sec²θ - tan²θ = 1
6. sec²θ - 1 = tan²θ
7. 1 + cot²θ = cosec²θ
8. cosec²θ - cot²θ = 1
9. cosec²θ - 1 = cot²θ

Others trigonometrical identities are derived from reciprocal of ratio of sides and complementary angle of rest angles of triangle.

As per reciprocal,
1. sinθ.cosecθ = 1
2. cosθ.secθ = 1
3. tanθ.cotθ = 1

As per complementary angle.

1. sinθ = cos(90⁰ - θ)
2. cosθ = sin(90 - θ)
3. tanθ = cot(90⁰ - θ)
4. cotθ = tan(90⁰ - θ)
5. secθ = cosec(90⁰ - θ)
6. cosecθ = sec(90⁰ - θ)

These are trigonometrical identities and true for each values of considering angle in right angle triangle.

2. Acids, Bases, and Salts Class X

Learning Points:

1. Acids, Bases, and Salts.

2. Chemical properties acids and base.

3. How to acids and Bases react with metal.

4. Acids and Bases react with each other.

5. Reaction metallic Oxides with acids.

6. Reaction of non metallic Oxides with base.

7. What do all acids and all bases have in common.

8. What happens to an Acids or a Base in water solution.

9. How strong are acid or base solution.

10. Importance of pH in everyday life.

11. Family of salts

12. pH of salts

13. Chemicals from common salts

Questions - Answers

NCERT Textbook

Page No. 2.

Question:

You have been provided with three test tubes. One of them contains distilled water and the other two contain an acidic solution and a basic solution, respectively. If you are given only red litmus paper, how will you identify the contents of each test tube?

Answer

We dip the litmus paper one by one in each test tubes.

If there is no change in the colour of litmus paper we say that solutions can be either distilled water or acidic.

Now, we dip the litmus paper in the third test tube in which colour is changed and we clear that this is basic solution. Now, the colour of litmus paper becomes blue.

Now, we dip the litmus paper in other two test tubes. If colour is changed we say it is acidic otherwise distilled water.

In this process we identify the solutions of test tubes.

Page No.6.

Questions

1. Why should curd or sour substances not be kept in brass and copper vessel?

Answer:

The curd or sour substances are acidic. Copper and brass are matal and alloy of metal. When curd or sour substances reacts with metal displace hydrogen gas and form salt together with harmful products.

Acid + metal    -> hydrogen + salt .

2HSO₄ + 2Cu -> 2CuSO₄ + H₂

Therefore, curd or sour subtances shoud not kept in brass and brass or copper vessel.

Q.No.2. Which gas is usually librated when an acid reacts with a metal? Illustrate with an example. How will you test for presence of this gas?

Answer :

Hydrogen gas is librated during the chemical reaction between acids and salts.

Example is given below

Zn + 2H₂SO₄ -> Zn(SO₄) + 2H₂.

We can test the evolved hydrogen gas by its burning with a pop sound when candle is brought near the gas.

Q.No.3. Metal compound A reacts with dilute hydrochloric acid to produce effervescence. The gas evolved extinguishes a burning candle. Write a balanced chemical equation for the reaction if one of the compound formed is calciumchloride.

Answer:

The balanced chemical equation is given below.

CaCO₃ + 2HCl -> CaCl₂ + CO₂ + H₂O

1. रासायनिक अभिक्रियाएँ एवं समीकरण

कक्षा दशम्
अध्याय 1
रासायनिक अभिक्रियाएँ एवं समीकरण
प्रश्नोत्तर NCERT Textbook
1.1 रासायनिक समीकरण
प्रश्न1. वायु मे जलाने से पहले मैग्नीशियम रिबन को साफ क्यों किया जाता है?
उतरः
मैग्नीशियम एक अति क्रियाशील धातू है अतः यह हवा के साथ प्रतिक्रिया करके मैग्नीशियम ऑक्साइड  का एक परत बनाता है जो आगे कि प्रतिक्रिया को जारी रखने में बाधा पहुँचाता है। इसलिए, वायु अथवा ऑक्सीजन में जलाने से पहले मैग्नीशियम रिबन को रेगमाल(Sand Paper) से रगडकर साफ कर लिया जाता है।

प्रश्न2. निम्नलिखित रासायनिक अभिक्रियाओॆ के लिए संतुलित समीकरण लिखिएः
(i) हाइड्रोजन + क्लोरीन → हाइड्रोजन क्लोराइड
उतरः
H₂ + Cl₂ → 2HCl
(ii) बेरियम क्लोराइड + ऐलुमीनियम सल्फेट → बेरियम सल्फेट + ऐलुमिनियम क्लोराइड
उतरः
(iii) सोडियम + जल → सोडियम हाइड्रोक्साइड + हाड्रोजन
उतरः
2Na + 2H₂O → 2NaOH + H₂
प्रश्न 3. निम्नलिखित अभिक्रियाओं के लिए उनकी अवस्था के संकेतो के साथ संतुलित रासायनिक समीकरण लिखिएः
(i) जल में बेरियम क्लोराइड तथा सोडियम सल्फेट के विलयन अभिक्रिया करके सोडियम क्लोराइड का विलयन तथा अघुलनशील बेरियम सल्फेट का अवक्षेप बनाते हैं।
उतरः
BaCl₂(aq) + Na₂SO₄(s) → BaSO₄(s) + 2NaCl(aq)
(ii) सोडियम हाइड्रोक्साइड का विलयन (जल में) हाइड्रोक्लोरिक अम्ल के विलयन (जल में) से अभिक्रिया करके सोडियम क्लोराइड का विलयन तथा जल बनाते है।
उतरः
NaOH(aq) + HCl(aq) → NaCl(aq) + H₂O(l)

1.2 रासायनिक अभिक्रियाओं के प्रकार
प्रश्न1. किसी पदार्थ X के विलयन का उपयोग सफेदी करने के लिए होता है।
(i) पदार्थ X का नाम तथा इसको सूत्र लिखिए।
उतरः
 कैल्सियम ऑक्साइड अथवा बिना बुझा हुआ चूना
रासायनिक सूत्रः (CaO)
(ii) ऊपर (i) में लिखे पदर्थ X की जल के साथ अभिक्रिया लिखिए।
उतरः
CaO एवं H₂O की रासायनिक अभिक्रिया नीचे दिया गया है।
CaO + H₂O → Ca(OH)₂(aq) + ऊष्मा
प्रश्न 2. क्रियाकलाप 1.7 में एक परखनली में एकत्रित गैस की मात्रा दूसरी से दोगुनी क्यो? उस गैस का नाम बताइए।
उतरः
वियोजन अभिक्रिया के कारण परखनली में एकत्रित गैस हाइड्रोजन का आयतन ऑक्सीजन से से दोगुनी है।

1.2.3 विस्थापन अभिक्रिया
प्रश्न1. जब लोहे की कील को कॉपर सल्फेट के विलयन में डुबोया जाता है तो विलयन का रंग क्यो बदल जाता है?
उतरः
इस अभिक्रिया में, लोहे ने कॉपर को कॉपर सल्फेट के विलयन से विस्थापित कर दिया। इस कारण विलयन के रंग के साथ-साथ लोहे के कील का भी रंग बदल जाता है।
इस अभिक्रिया को विस्थापन अभिक्रिया कहा जाता है।
ऱासायनिक अभिक्रिया को नीचे दिखाया गया है।
Fe(s) + CuSO₄(aq) → FeSO₄(aq) + Cu(s)

प्रश्न 2. क्रियाकलाप 1.10 से भिन्न द्विविस्थापन अभिक्रिया का एक उदाहरण दीजिए।
उतरः
द्विविस्थापन अभिक्रिया का उदाहरण नीचे दिया गया है।
Na₂SO₄(aq) + BaCl₂ → BaSO₄(s) + 2NaCl(aq)
प्रश्न 3. निम्न अभिक्रियाओं में उपचयित पदार्थ की पहचान कीजिएः
(i) 4Na(s) + O₂ → 2Na₂O(s)
उतरः
इस अभिक्रिया में सोडियम उपचयित पदार्थ है।
(ii) CuO(s) + H₂(g) → Cu(s) + H₂O(l)
उतरः
इस अभिक्रिया में हाइड्रोजन उपचयित पदार्थ है।

अभ्यास
प्रश्न 1. नीचे दी गयी अभिक्रिया के संबंध मे कौन सा कथन सत्य है?
2PbO(s) + C(s) → 2Pb(s) + CO₂(g)
(a) सीसा अपचयित हो रहा है।
(b) कार्बन डाइऑक्साइड उपचयित हो रहा है।
(c) कार्बन उपचयित हो रहा है।
(d) लेड ऑक्साइड अपचयित हो रहा है।
(i) (a) एवं (b)
(ii) (a) एवं (c)
(iii) (a), (b) एवं (c)
(iv) सभी
उतरः
सीसा अपचयित हो रहा है एवं कार्बन डाइऑक्साइड उपचयित हो रहा है।
अतः सही विकल्प (ii) होगा।

प्रश्न2. Fe₂O₃ + 2Al →Al₂O₃ + 2Fe
उपर दी गयी अभिक्रिया किस प्रकार की हैः
(a) संयोजन अभिक्रिया
(b) द्विविस्थापन अभिक्रिया
(c) वियोजन अभिक्रिया
(d) विस्थापन अभिक्रिया
उतरः
यह एक प्रकार का विस्थापन अभिक्रिया है क्योंकि अल्युमिनियम, लोहे को उनके योगिक से विस्थापित कर रहा है।
अतः सही विकल्प (d) होगा।

प्रश्न 3. लौह चूर्ण पर तनु हाइड्रोक्लोरिक अम्ल डालने से क्या होता है? सही उत्तर पर निशान लगाइए।
(a) हाइड्रोजन गैस एवं आयरन क्लोराइड बनता है।
(b) क्लोरीन गैस एवं आयरन हाइड्रॉक्साइड बनता है।
(c) कोई अभिक्रिया नही होती है।
(d) आयरन लवण एवं जल बनता है।
उत्तरः
हाइड्रोजन गैस एवं आयरन क्लोराइड बनता है।
 

1.Chemical Reactions and Equations

Class X
Chapter 1.
Chemical Reactions and Equations
Questions Answers (NCERT Textbook)

1.1 Chemical Equations

Q.No.1. Why should a magnesium ribbon be cleaned before burning in air ?
Answer:
Magnesium ribbon is very reactive metal so it easily reacts with air and make a layer of magnesium oxide. The layer of magnesium oxide is quite stable and prevents further reaction of magnesium with air or oxygen. Therefore, magnesium ribbon is cleaned by sand paper to remove the layer of magnesium oxide before burning in air. Magnesium ribbon burns with air and gives magnesium oxide.
The word equation for the reaction would be
Magnesium + Oxygen → Magnesium Oxide.
This word equation may be represented by following chemical equation.
2Mg + O₂ → 2MgO

Q.No.2. Write the balanced equation for the following chemical reactions.
(i) Hydrogen + Chlorine → Hydrogen chloride
Answer:
The above word equation may be represented by following chemical equation
H₂ + Cl₂ → 2HCl

(ii) Barium chloride + Aluminium sulphate → Barium sulphate + Aluminium chloride
Answer:
The above word equation may be represented by
3BaCl₂ + Al₂(SO₄)₃ → 3BaSO₄ + 2AlCl₃

(iii) Sodium + Water → Sodium hydroxide + Oxygen
Answer:
The above word equation may be represented by following chemical equation.
2Na + 2H₂O → 2NaOH + H₂

Q.No.3. Write a balanced chemical equation with symbols for the following reactions.
(i) Solution of barium chloride and sodium sulphate in water react to give insoluble barium sulphate and the solution of sodium chloride.
Answer:
The above equation may be represented by following chemical equation.
BaCl₂(aq) + Na₂SO₄(aq) → BaSO₄(s) + 2NaCl(aq)

(ii) Sodium hydroxide solution (in water) reacts with hydrochloric acid solution (in water) to produce sodium chloride solution and water.
Answer:
The above equation may be represented by following chemical equation.
NaOH(aq) + HCl(aq) → NaCl(l) + H₂O(l)